“La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa“.
Giovanni Keplero1
La sezione aurea è un numero con delle proprietà matematiche molto particolari, che può essere espresso come il rapporto tra il tutto e una sua parte. Euclide la definì come la “proporzione estrema e media”2 e questa caratteristica ha fatto sì che nel corso della storia gli venissero attribuiti anche dei profondi significati simbolici e filosofici.
Preso un segmento AB, la sezione aurea è il rapporto tale che, definito un punto intermedio S, AS sia medio proporzionale tra AB e SB. Qualunque sia la lunghezza dei segmenti, il valore è sempre costante:
AB/AS=AS/SB=1,618033988…
Significato simbolico
Il numero così ottenuto è irrazionale, ossia possiede infinite cifre non periodiche dopo la virgola. Si tratta di un aspetto che ha affascinato l’umanità intera nel corso della storia. L’infinito, infatti, è uno degli attributi filosofici del trascendente. Sul piano simbolico la relazione tra la totalità e la sua parte è stata spesso interpretata come una metafora del rapporto cosmologico tra l’universo e il mondo conosciuto, oppure tra Dio e il creato, tra l’infinito e il finito. In questa analogia si esprimono la bellezza e l’armonia, pertanto la sezione aurea è stata riconosciuta nell’arte come un ideale figurativo, aureo o divino.
Cenni storici
I primi a identificarne il valore numerico furono i discepoli della scuola pitagorica nel VI secolo a.C. Il filosofo Giamblico attribuì la scoperta a Ippaso di Metaponto3, ma soltanto con Euclide (300 a.C. circa) se ne ebbe la definizione attuale4.
Gli Antichi Egizi e la Piramide di Cheope
Tuttavia, vi sono manufatti del mondo antico che ne attestano l’uso persino tra i Babilonesi e gli Egizi. È possibile che quest’ultimi utilizzarono la sezione aurea per la costruzione delle Piramidi. La Piramide di Cheope, in particolare, nasconde un valore molto simile se viene messo in rapporto l’apotema di una faccia laterale con il semilato della base. Ciò nondimeno, non è chiaro se ottenere la sezione aurea fosse nelle reali intenzioni dei costruttori, o se si tratti di una conseguenza della tecnica utilizzata per l’edificazione.
I Pitagorici
I Pitagorici identificarono la sezione aurea attraverso lo studio del pentagono, ricavabile da ognuna delle cinque diagonali, e vi associarono il significato di unione maschile e femminile, quindi della totalità. Essi scoprirono che il pianeta Venere, a cui erano associati l’amore, la bellezza e la fertilità, disegna un pentagono durante il suo percorso di avvicinamento dal sole alla terra.
Un fatto curioso è che proprio la sezione aurea contribuì a innescare la crisi filosofica e morale della scuola pitagorica. Questo perché Ippaso di Metaponto aveva correttamente identificato le sue caratteristiche matematiche, tra cui l’irrazionalità. Ora, i numeri irrazionali non possono essere scritti sotto forma di frazione, in quanto non esprimibili attraverso un rapporto tra interi (ratio in latino). Ciò implica l’esistenza di grandezze fisiche incommensurabili, ma per i Pitagorici, che fondavano la loro visione del mondo sulla misurazione attraverso multipli e sottomultipli, era inaccettabile. Per tale ragione la scoperta della sezione aurea fu a lungo tenuta nascosta5.
La sezione aurea nel Rinascimento
L’interesse per la sezione aurea crebbe enormemente nel XV secolo, quando il matematico Luca Pacioli pubblicò a Venezia il De divina proportione6. Il testo, che si avvaleva delle illustrazioni di Leonardo da Vinci, descriveva la “proporzione divina” in molti dei suoi molteplici aspetti. Lo studioso era convinto che essa fosse essenzialmente il segreto della bellezza. Il rapporto, secondo Pacioli, è alla base delle opere architettoniche e naturali più belle. La proporzione, infatti, restituirebbe un’armonia d’insieme quasi magica.
La sezione aurea, secondo un’opinione diffusa all’epoca, rappresentava pertanto la connessione armonica tra il macrocosmo (l’universo, il tutto) e il microcosmo (l’uomo, la parte del tutto), concezioni che affondano le radici fin dall’epoca pitagorica. Questa idea si è mantenuta nei secoli a venire, almeno fino all’Ottocento, quando è stato coniato il nome di “sezione aurea”, e forse è attuale anche ai nostri giorni.
La sezione aurea e la serie di Fibonacci
Nel 1611 Keplero dimostrò un’interessante proprietà della proporzione divina, mettendola in relazione con la serie di Fibonacci. L’astronomo scoprì che il rapporto tra numeri consecutivi della serie di Fibonacci approssimava con sempre maggior precisione la sezione aurea, all’aumentare delle grandezze.
È forse questa la ragione per cui la sezione aurea si rinviene così frequentemente in natura. Ad esempio, essa è alla base del passo armonico di certe conchiglie (spirale aurea) o della disposizione dei petali di numerose piante. E ancora, l’altezza di un uomo in rapporto all’altezza del suo ombelico restituisce esattamente 1,618033988…
“L’immagine dell’uomo e della donna nasce dalla proporzione divina. Secondo me, la propagazione delle piante e gli atti progenitivi degli animali sono nella stessa proporzione”.
Giovanni Keplero
Studi recenti sulla sezione aurea
L’attrazione dell’uomo per la sezione aurea, soprattutto in relazione alla percezione di armonia e di bellezza, è stata oggetto di svariati studi psicologici, il cui pioniere fu Fechner nel XIX secolo. Il tedesco tentò di dimostrare una preferenza inconscia verso i solidi geometrici costruiti a partire dalla sezione aurea, come il rettangolo aureo. Egli chiese a un campione statistico, composto da numerose persone, di indicare la preferenza tra alcuni rettangoli che gli venivano mostrati. Secondo Fechner, il trenta per cento dei soggetti testati indicò il rettangolo aureo7.
Gli studi di Fechner, tuttavia sono stati ripetuti diverse volte e revisionati, ottenendo risultati spesso contrastanti. Da allora, nessun lavoro scientifico è riuscito con certezza a dimostrare una correlazione reale tra le proprietà della sezione aurea e la percezione della bellezza. È possibile che la magica proporzione rappresenti, ad oggi, una delle più grandi suggestioni nella storia dell’umanità?
Samuele Corrente Naso
Note
- K. Fink, W. W. Beman, D. E. Smith, A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink’s Geschichte der Elementar-Mathematik, Chicago, 1903. ↩︎
- Euclide, Elementi, VI libro. ↩︎
- M. Livio, La sezione aurea, Segrate, Rizzoli, 2003. ↩︎
- Euclide, Elementi, XIII libro. ↩︎
- C. Smorynski, The Discovery of Irrational Numbers, in History of Mathematics. A Supplement, Dodrecht, 2008. ↩︎
- Luca Pacioli, De divina proportione, Venezia, 1509. ↩︎
- G. Fechner, Vorschule der Aesthetik (Manuale di estetica), 1879. ↩︎
