Numeri Magici: la Sezione Aurea

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La geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora; l’altro è la divisione di un segmento secondo il rapporto medio ed estremo. Possiamo paragonare il primo a una certa quantità d’oro, e definire il secondo una pietra preziosa“.

Giovanni Keplero1

La sezione aurea è un numero molto particolare: essa ha avuto molteplici utilizzi nella storia della matematica, della geometria e delle scienze, e talvolta gli sono state attribuite implicazioni persino esoteriche. Ciò è dovuto alle caratteristiche intrinseche di tale valore, che può essere espresso come il rapporto tra il tutto e una sua parte.

Preso un segmento AB, la sezione aurea è il rapporto tale che, definito un punto intermedio S, AS sia medio proporzionale tra AB e SB. In poche parole:

AB/AS=AS/SB=1,618033988…

Il rapporto, come si evince, restituisce un numero irrazionale, vale a dire che possiede infinite cifre dopo la virgola non periodiche.

Significato simbolico

Inizialmente l’interesse sulla “proporzione estrema e media”, come ebbe a definirla Euclide, era prettamente di ordine matematico, ma nel corso della storia essa ha assunto un significato simbolico. In primis la sezione aurea contiene in sé il concetto di infinito, uno degli attributi filosofici del trascendente, e allo stesso tempo rappresenta un’uguaglianza immanente in quanto è una proporzione tra due rapporti tangibili e reali. La relazione tra la totalità e la sua parte è divenuta metafora del rapporto cosmologico tra l’Universo e il mondo conosciuto, tra Dio e il creato, tra l’infinito e il finito. La sezione aurea è stata quindi riconosciuta come un ideale figurativo, significazione di armonica bellezza giustappunto aurea o divina.

Cenni storici

I primi a identificarne il valore numerico furono i discepoli della scuola pitagorica nel VI secolo a.C – il filosofo Giamblico attribuì la scoperta a Ippaso di Metaponto2 – ma soltanto con Euclide (300 a.C. circa) se ne ebbe la definizione attuale3.

Gli Antichi Egizi e la Piramide di Cheope

Tuttavia, vi sono manufatti del mondo antico che ne attesterebbero l’uso persino tra i Babilonesi e gli Egizi; quest’ultimi avrebbero utilizzato la sezione aurea per la costruzione delle Piramidi. La Piramide di Cheope, in particolare, nasconde un valore molto simile alla sezione aurea se viene messo in rapporto l’apotema di una faccia laterale con il semilato della base. Ciò nondimeno, non è chiaro se ottenere il valore indicato fosse nelle reali intenzioni dei costruttori, o se esso sia semplicemente una conseguenza della tecnica utilizzata per l’edificazione. 

Le Piramidi di Giza

I Pitagorici

I Pitagorici identificarono la sezione aurea attraverso lo studio del pentagono, dove è ricavabile da ognuna delle cinque diagonali, e vi associarono il significato di unione maschile e femminile, nonché della totalità. Essi rilevarono che il pianeta Venere, simbolo dell’amore, disegna un pentagono durante il suo percorso di avvicinamento dal sole alla terra.   

Un fatto curioso è che la sezione aurea contribuì ad innescare una crisi filosofica e morale presso la scuola pitagorica. Questo perché Ippaso di Metaponto aveva correttamente identificato le sue caratteristiche matematiche, tra cui l’irrazionalità. Ora, i numeri irrazionali non possono essere scritti sotto forma di frazione, non possono essere espressi attraverso un rapporto tra interi (ratio in latino). Ciò implica l’esistenza di grandezze fisiche incommensurabili, ma per i Pitagorici, che fondavano la loro visione del mondo sulla misurazione attraverso multipli e sottomultipli, era inaccettabile. Per tale ragione la scoperta della sezione aurea fu a lungo tenuta nascosta4.

La sezione aurea nel Rinascimento

L’interesse per la sezione aurea crebbe enormemente nel XV secolo, quando il matematico Luca Pacioli pubblicò a Venezia il De divina proportione (1509). Il testo, che si avvaleva delle illustrazioni di Leonardo da Vinci, descriveva la “proporzione divina” in molti dei suoi molteplici aspetti. Lo studioso era convinto che essa fosse essenzialmente il segreto della bellezza. Il rapporto, secondo Pacioli, è alla base delle opere architettoniche e naturali più belle. La proporzione, infatti, restituirebbe un’armonia d’insieme quasi magica. 

sezione aurea
L’annunciazione di Leonardo da Vinci. Il pittore che Pacioli cita nel suo trattato, avrebbe utilizzato la sezione aura per dipingere la Vergine delle Rocce, l’Annunciazione e l’Uomo di Vitruvio.  

La sezione aurea, secondo un’opinione diffusa all’epoca, rappresentava pertanto la connessione armonica tra il macrocosmo (l’universo, il tutto) e il microcosmo (l’uomo, la parte del tutto), concezioni che affondano le radici fin dall’epoca pitagorica. Tale idea si è trascinata per secoli, almeno fino all’Ottocento, quando ha preso il nome di “sezione aurea”, e forse finanche ai nostri giorni.

La sezione aurea e la serie di Fibonacci

Nel 1611 Keplero dimostrò un’interessante proprietà della proporzione divina, mettendola in relazione con la serie di Fibonacci. L’astronomo scoprì che il rapporto tra numeri consecutivi della serie di Fibonacci approssimava con sempre maggior precisione la sezione aurea, all’aumentare delle grandezze. 

La spirale di Fibonacci approssima una spirale aurea

È forse questa la ragione per cui la sezione aurea si rinviene così frequentemente in natura. Ad esempio, essa è alla base del passo armonico di certe conchiglie (spirale aurea); della disposizione dei petali di numerose piante; e ancora: l’altezza di un uomo in rapporto all’altezza del suo ombelico restituisce esattamente 1,618033988… 

“L’immagine dell’uomo e della donna nasce dalla proporzione divina. Secondo me, la propagazione delle piante e gli atti progenitivi degli animali sono nella stessa proporzione”.

Giovanni Keplero [2].
aurea
L’Uomo di Vitruvio di Leonardo da Vinci: il rapporto tra il lato del quadrato e il raggio del cerchio è una sezione aurea

Studi recenti sulla sezione aurea

L’attrazione dell’uomo per la sezione aurea, soprattutto in relazione alla percezione di armonia e di bellezza che da essa promana, è stata oggetto di svariati studi psicologici, il cui pioniere fu Fechner nel diciannovesimo secolo. Il tedesco tentò di dimostrare una preferenza inconscia verso i solidi geometrici costruiti a partire dalla sezione aurea, come il rettangolo aureo. Egli chiese a un campione statistico, composto di numerose persone, di indicare la preferenza tra alcuni rettangoli che gli venivano mostrati. Secondo Fechner, il trenta per cento dei soggetti testati indicò il rettangolo aureo.

Gli studi di Fechner, tuttavia sono stati ripetuti diverse volte e revisionati, ottenendo risultati spesso contrastanti. Da allora, nessun lavoro scientifico è riuscito con certezza a dimostrare una correlazione reale tra le proprietà della sezione aurea e la percezione della bellezza. È possibile che la magica proporzione rappresenti, ad oggi, una delle più grandi suggestioni nella storia dell’umanità?

Samuele Corrente Naso

Note

  1. Fink, Karl; Beman, Wooster Woodruff; Smith, David Eugene. A Brief History of Mathematics: An Authorized Translation of Dr. Karl Fink’s Geschichte der Elementar-Mathematik, Chicago, 1903. ↩︎
  2. Mario Livio, La sezione aurea, Segrate, Rizzoli, 2003. ↩︎
  3. Euclide, Elementi, XIII libro. ↩︎
  4. C. Smorynski. History of Mathematics. A Supplement, Dodrecht, Springer 2008, “The Discovery of Irrational Numbers”. ↩︎
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